長期皮膚病，原因不明

貓咪從一年前領養第一天到現在，一直有不明皮膚病，剛開始是尾巴跟背部，後來逐漸蔓延到整個尾巴跟整個背部。貓咪可能因為搔癢，一直啃食自己的毛，每一個脫毛的地方，都能發現一個如芝麻大小的紅點，紅點大約幾個星期就會消失，可是又會出現在其他地方，曾經帶去醫院三次，使用了內外驅蟲處方藥物，打過過敏針和抗生素，也曾藥浴，吃過兩個月的魚油，本地醫生確定貓咪身上沒有霉菌跟蟲，懷疑過是食物過敏，試過單一原料貓糧，皆無效果。家裡環境整潔，每天掃地機器人早晚各一次掃地拖地，貓床每星期清洗。貓為室內貓，從未外出過。懇請醫生朋友給點建議，謝謝！